Henry Segerman: Armonia materială în matematică

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Modificat ultima dată: 2023-12-16 16:15

Potrivit legendei, Pitagora a fost primul care a descoperit că două corzi întinse egal emit un sunet plăcut dacă lungimile lor sunt legate ca numere întregi mici. De atunci, oamenii au fost fascinați de legătura misterioasă dintre frumusețe și matematică, o armonie complet materială a formelor, vibrațiilor, simetriei - și o abstractizare perfectă a numerelor și a relațiilor.

Această legătură este efemeră, dar tangibilă; nu degeaba artiștii folosesc legile geometriei de mulți ani și sunt inspirați din legile matematice. Lui Henry Segerman i-a fost greu să abandoneze această sursă de idei: la urma urmei, este matematician de vocație și de profesie.

Sticla Klein „Prin lipirea mentală a marginilor a două benzi Mobius”, spune Henry Segerman, „poți obține o sticlă Klein, care are și o suprafață. Aici vedem o sticlă Klein făcută din benzi Mobius cu marginea rotundă.

Mai degrabă, cum ar putea arăta în spațiul tridimensional. Deoarece benzile Mobius „rotunde” originale merg la infinit, atunci o astfel de sticlă Klein va continua până la infinit de două ori și se va încrucișa, ceea ce poate fi văzut în sculptură.” O copie mărită a acestei sculpturi împodobește Departamentul de Matematică și Statistică de la Universitatea din Melbourne.

Fractali

„M-am născut într-o familie de oameni de știință și cred că interesul meu pentru orice necesită gândire spațială avansată este legat de asta”, spune Henry. Astăzi este deja absolvent al studiilor de licență și doctorat de la Oxford la Universitățile Stanford și deține funcția de profesor asociat la Universitatea din Oklahoma.

Dar o carieră științifică de succes este doar o latură a personalității sale multiforme: în urmă cu mai bine de 12 ani, matematicianul a început să organizeze evenimente de artă… în lumea virtuală a Second Life.

Acest simulator tridimensional cu elemente ale unei rețele sociale a fost atunci foarte popular, permițând utilizatorilor nu numai să comunice între ei, ci și să-și echipeze „avatarurile” virtuale și zonele pentru divertisment, muncă etc.

Nume: Henry Segerman

Născut în 1979

Studii: Universitatea Stanford

Oraș: Stillwater, SUA

Motto: „Ia doar o idee, dar arată-o cât mai clar posibil”.

Segerman a venit aici, înarmat cu formule și numere, și și-a aranjat lumea virtuală într-un mod matematic, umplând-o cu figuri fractale fără precedent, spirale și chiar teseracte, hipercuburi cu patru dimensiuni. „Rezultatul este o proiecție a unui hipercub cu patru dimensiuni în universul tridimensional al Second Life – care în sine este o proiecție a unei lumi virtuale tridimensionale pe un ecran plat bidimensional”, notează artistul.

Curba lui Hilbert: o linie continuă umple spațiul unui cub, fără întreruperea sau intersectarea cu ea însăși.

Curbele Hilbert sunt structuri fractale și, dacă măriți, puteți vedea că părți ale acestei curbe urmează forma întregului. „Le-am văzut de mii de ori în ilustrații și modele pe computer, dar când am luat prima dată o astfel de sculptură 3D în mâini, am observat imediat că era și elastică”, spune Segerman. „Întruchiparea fizică a conceptelor matematice este întotdeauna surprinzătoare cu ceva.”

Cu toate acestea, îi plăcea mult mai mult să lucreze cu sculpturi materiale. „Există cantități uriașe de informații care circulă în jurul nostru tot timpul”, spune Segerman. - Din fericire, lumea reală are o lățime de bandă foarte mare, care nu este încă disponibilă pe Web.

Oferă-i unei persoane un lucru terminat, o formă integrală - și o va percepe imediat în toată complexitatea sa, fără a aștepta încărcarea. Deci, din 2009, Segerman a creat puțin peste o sută de sculpturi, iar fiecare dintre ele este o întruchipare fizică vizuală și, pe cât posibil, exactă a conceptelor și legilor matematice abstracte.

Poliedre

Evoluția experimentelor artistice ale lui Segerman cu imprimarea 3D repetă în mod ciudat evoluția ideilor matematice. Printre primele sale experimente au fost solidele clasice platonice, un set de cinci figuri simetrice, pliate în triunghiuri regulate, pentagoane și pătrate. Au fost urmate de poliedre semiregulate - 13 solide arhimediene, ale căror fețe sunt formate din poligoane regulate inegale.

Model 3D Stanford Rabbit creat în 1994. Format din aproape 70.000 de triunghiuri, servește ca un test simplu și popular al performanței algoritmilor software. De exemplu, pe un iepure, puteți testa eficiența compresiei datelor sau a netezirii suprafeței pentru grafica pe computer.

Prin urmare, pentru specialiști, această formă este aceeași cu sintagma „Mâncați mai multe din aceste rulouri franțuzești moi” pentru cei cărora le place să se joace cu fonturile de pe computer. Sculptura Stanford Bunny este același model, a cărui suprafață este pavată cu literele cuvântului iepuraș.

Deja aceste forme simple, care au migrat de la ilustrațiile bidimensionale și lumea ideală a imaginației la realitatea tridimensională, evocă admirația interioară pentru frumusețea lor laconică și perfectă. „Relația dintre frumusețea matematică și frumusețea operelor de artă vizuale sau sonore mi se pare foarte fragilă.

La urma urmei, mulți oameni sunt foarte conștienți de o formă a acestei frumuseți, neînțelegând complet cealaltă. Ideile matematice pot fi traduse în forme vizibile sau vocale, dar nu toate și nici atât de ușor pe cât ar părea”, adaugă Segerman.

Curând, formele din ce în ce mai complexe au urmat figurile clasice, până la cele la care Arhimede sau Pitagora cu greu s-ar fi putut gândi - poliedre regulate care umplu spațiul hiperbolic al lui Lobaciovski fără interval.

Asemenea figuri cu nume incredibile precum „fagure tetraedric de ordinul 6” sau „fagure de mozaic hexagonal” nu pot fi imaginate fără o imagine vizuală la îndemână. Sau - una dintre sculpturile lui Segerman, care le reprezintă în spațiul nostru obișnuit euclidian tridimensional.

Solide platonice: un tetraedru, octaedru și icosaedru pliate în triunghiuri regulate, precum și un cub și un icosaedru format din pătrate bazate pe pentagoane.

Platon însuși le-a asociat cu patru elemente: particule octaedrice „netede”, după părerea lui, aer pliat, icosaedre „fluide” - apă, cuburi „dense” - pământ și tretraedre ascuțite și „ghimpanoase” - foc. Cel de-al cincilea element, dodecaedrul, a fost considerat de filozof o particulă a lumii ideilor.

Munca artistului începe cu un model 3D, pe care îl construiește în pachetul profesional Rhinoceros. În general, așa se termină: producția de sculpturi în sine, imprimarea modelului pe o imprimantă 3D, Henry pur și simplu comandă prin Shapeways, o mare comunitate online de pasionați de imprimare 3D, și primește un obiect finit din plastic sau compozite metalice pe bază de plastic sau bronz. „Este foarte ușor”, spune el. „Încărcați un model pe site, faceți clic pe butonul Adăugați în coș, plasați o comandă și în câteva săptămâni vă va fi livrat prin poștă.”

Figura 8 Complement Imaginați-vă că legați un nod în interiorul unui solid și apoi îl îndepărtați; cavitatea rămasă se numește complementul nodului. Acest model prezintă adăugarea unuia dintre cele mai simple noduri, cifra opt.

frumuseţe

În cele din urmă, evoluția sculpturilor matematice ale lui Segerman ne duce în câmpul complex și fascinant al topologiei. Această ramură a matematicii studiază proprietățile și deformațiile suprafețelor plane și spațiilor de dimensiuni diferite, iar caracteristicile lor mai largi sunt importante pentru ea decât pentru geometria clasică.

Aici, un cub poate fi transformat cu ușurință într-o minge, precum plastilina, iar o ceașcă cu mâner poate fi rulată într-o gogoașă fără a sparge nimic important în ele - un exemplu binecunoscut întruchipat în eleganta Glumă topologică a lui Segerman.

Teseractul este un cub cu patru dimensiuni: la fel cum un pătrat poate fi obținut prin deplasarea unui segment perpendicular pe el la o distanță egală cu lungimea sa, un cub poate fi obținut prin copierea similară a unui pătrat în trei dimensiuni și prin mutarea unui cub. în al patrulea, vom „desena” un tesseract, sau hipercub. Va avea 16 vârfuri și 24 de fețe, ale căror proiecții în spațiul nostru tridimensional arată puțin ca un cub tridimensional obișnuit.

„În matematică, simțul estetic este foarte important, matematicienii iubesc teoremele „frumoase”, - argumentează artistul. - Este greu de stabilit în ce constă exact această frumusețe, ca, într-adevăr, în alte cazuri. Dar aș spune că frumusețea teoremei constă în simplitatea ei, care îți permite să înțelegi ceva, să vezi niște conexiuni simple care anterior păreau incredibil de complexe.

În centrul frumuseții matematice poate fi minimalismul pur și eficient - și o exclamație surprinsă de „Aha!”. Frumusețea profundă a matematicii poate fi la fel de descurajantă ca eternitatea înghețată a palatului Reginei Zăpezii. Cu toate acestea, toată această armonie rece reflectă invariabil ordinea interioară și regularitatea Universului în care trăim. Matematica este doar o limbă care se potrivește în mod inconfundabil în această lume elegantă și complexă.

În mod paradoxal, conține corespondențe fizice și aplicații pentru aproape orice enunț în limbajul formulelor și relațiilor matematice. Chiar și cele mai abstracte și „artificiale” construcții își vor găsi mai devreme sau mai târziu o aplicație în lumea reală.

O glumă topologică: dintr-un anumit punct de vedere, suprafețele unui cerc și a unei gogoși sunt „la fel”, sau, mai exact, sunt homeomorfe, deoarece se pot transforma una în alta fără întreruperi și lipici, datorită deformare treptată.

Geometria euclidiană a devenit o reflectare a lumii staționare clasice, calculul diferențial a fost util pentru fizica newtoniană. Incredibila metrică riemanniană, după cum sa dovedit, este necesară pentru a descrie universul instabil al lui Einstein, iar spațiile hiperbolice multidimensionale și-au găsit aplicație în teoria corzilor.

În această ciudată corespondență a calculelor abstracte și a numerelor cu fundamentele realității noastre stă, poate, secretul frumuseții pe care neapărat o simțim în spatele tuturor calculelor reci ale matematicienilor.