Ce sunt fractalii: frumusețea matematicii și infinitul

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Modificat ultima dată: 2023-12-16 16:15

Fractalii sunt cunoscuți de un secol, au fost bine studiati și au numeroase aplicații în viață. Totuși, acest fenomen se bazează pe o idee foarte simplă: o multitudine de forme, infinite ca frumusețe și varietate, pot fi obținute din structuri relativ simple folosind doar două operații - copierea și scalarea.

Ce au în comun un copac, un mal de mare, un nor sau vasele de sânge din mâna noastră? La prima vedere, poate părea că toate aceste obiecte nu au nimic în comun. Cu toate acestea, de fapt, există o proprietate a structurii inerentă tuturor obiectelor enumerate: ele sunt auto-asemănătoare. Din ramură, precum și din trunchiul copacului, există ramuri mai mici, din ele - chiar mai mici etc., adică ramura este ca întreg copacul.

Sistemul circulator este aranjat într-un mod similar: arteriolele pleacă din artere și din ele - cele mai mici capilare prin care oxigenul intră în organe și țesuturi. Să ne uităm la imaginile din satelit ale coastei mării: vom vedea golfuri și peninsule; haideti sa ne uitam la el, dar din vedere de ochi: vom vedea golfuri si pelerine; Acum să ne imaginăm că stăm pe plajă și ne uităm la picioare: mereu sunt pietricele care ies în apă mai departe decât restul.

Adică, linia de coastă rămâne similară cu ea însăși când este mărită. Matematicianul american (deși a crescut în Franța) Benoit Mandelbrot a numit această proprietate a obiectelor fractalitate, iar astfel de obiecte în sine - fractali (din latinescul fractus - rupt).

Ce este un fractal?

Acest concept nu are o definiție strictă. Prin urmare, cuvântul „fractal” nu este un termen matematic. De obicei, un fractal este o figură geometrică care satisface una sau mai multe dintre următoarele proprietăți: • Are o structură complexă la orice mărire (spre deosebire de, de exemplu, o linie dreaptă, din care orice parte este cea mai simplă figură geometrică - o segment de linie). • Este (aproximativ) auto-similar. • Are o dimensiune Hausdorff (fractală) fracțională, care este mai mare decât cea topologică. • Poate fi construit cu proceduri recursive.

Geometrie și algebră

Studiul fractalilor la începutul secolelor al XIX-lea și al XX-lea a fost mai degrabă episodic decât sistematic, deoarece matematicienii anteriori au studiat în principal obiectele „bune” care erau susceptibile de cercetare folosind metode și teorii generale. În 1872, matematicianul german Karl Weierstrass construiește un exemplu de funcție continuă care nu este diferențiabilă nicăieri. Cu toate acestea, construcția sa a fost în întregime abstractă și greu de perceput.

Prin urmare, în 1904, suedezul Helge von Koch a inventat o curbă continuă, care nu are tangentă nicăieri și este destul de simplu de desenat. S-a dovedit că are proprietățile unui fractal. Una dintre variantele acestei curbe se numește „fulg de zăpadă Koch”.

Ideile de auto-asemănare a figurilor au fost preluate de francezul Paul Pierre Levy, viitorul mentor al lui Benoit Mandelbrot. În 1938, și-a publicat articolul „Plane and spatial curves and surfaces, consisting of parts similar to the whole”, care descrie un alt fractal - curba C Lévy. Toți acești fractali de mai sus pot fi atribuiți condiționat unei singure clase de fractali constructivi (geometrici).

O altă clasă este fractalii dinamici (algebrici), care includ mulțimea Mandelbrot. Primele studii în această direcție au început la începutul secolului al XX-lea și sunt asociate cu numele matematicienilor francezi Gaston Julia și Pierre Fatou. În 1918, a fost publicată memoria de aproape două sute de pagini a Juliei, dedicată iterațiilor de funcții raționale complexe, în care au fost descrise mulțimile Juliei - o întreagă familie de fractali strâns înrudite cu mulțimea Mandelbrot. Această lucrare a fost distinsă cu premiul Academiei Franceze, dar nu conținea o singură ilustrație, așa că a fost imposibil de apreciat frumusețea obiectelor descoperite.

În ciuda faptului că această lucrare a glorificat-o pe Iulia printre matematicienii vremii, a fost rapid uitată. Abia după o jumătate de secol, computerele au intrat din nou în atenție: ele au făcut vizibilă bogăția și frumusețea lumii fractalilor.

Dimensiuni fractale

După cum știți, dimensiunea (numărul de măsurători) unei figuri geometrice este numărul de coordonate necesare pentru a determina poziția unui punct situat pe această figură.

De exemplu, poziția unui punct pe o curbă este determinată de o coordonată, pe o suprafață (nu neapărat un plan) de două coordonate, în spațiul tridimensional de trei coordonate.

Dintr-un punct de vedere matematic mai general, puteți defini dimensiunea în acest fel: o creștere a dimensiunilor liniare, să zicem, de două ori, pentru obiectele unidimensionale (din punct de vedere topologic) (segmentul) duce la o creștere a dimensiunii. (lungime) de două ori, pentru bidimensional (pătrat) aceeași creștere a dimensiunilor liniare duce la o creștere a dimensiunii (aria) de 4 ori, pentru tridimensional (cub) - de 8 ori. Adică, dimensiunea „reală” (așa-numita Hausdorff) poate fi calculată ca raport dintre logaritmul unei creșteri a „dimensiunii” unui obiect și logaritmul unei creșteri a dimensiunii sale liniare. Adică pentru segmentul D = log (2) / log (2) = 1, pentru planul D = log (4) / log (2) = 2, pentru volumul D = log (8) / log (2) = 3.

Să calculăm acum dimensiunea curbei Koch, pentru construcția căreia segmentul unitar este împărțit în trei părți egale, iar intervalul din mijloc este înlocuit cu un triunghi echilateral fără acest segment. Cu o creștere a dimensiunilor liniare ale segmentului minim de trei ori, lungimea curbei Koch crește în log (4) / log (3) ~ 1, 26. Adică dimensiunea curbei Koch este fracțională!

Știință și artă

În 1982, a fost publicată cartea lui Mandelbrot „Geometria fractală a naturii”, în care autorul a colectat și sistematizat aproape toate informațiile disponibile la acea vreme despre fractali și le-a prezentat într-o manieră ușoară și accesibilă. În prezentarea sa, Mandelbrot a pus accentul principal nu pe formule greoaie și construcții matematice, ci pe intuiția geometrică a cititorilor. Datorită ilustrațiilor generate de computer și poveștilor istorice, cu care autorul a diluat cu pricepere componenta științifică a monografiei, cartea a devenit un bestseller, iar fractalii au devenit cunoscuți publicului larg.

Succesul lor în rândul non-matematicienilor se datorează în mare măsură faptului că cu ajutorul unor construcții și formule foarte simple pe care un licean le poate înțelege, se obțin imagini de o complexitate și frumusețe uimitoare. Când computerele personale au devenit suficient de puternice, a apărut chiar și o întreagă tendință în artă - pictura fractală și aproape orice proprietar de computer ar putea să o facă. Acum, pe internet, puteți găsi cu ușurință multe site-uri dedicate acestui subiect.

Razboi si pace

După cum sa menționat mai sus, unul dintre obiectele naturale cu proprietăți fractale este linia de coastă. O poveste interesantă este legată de el, sau mai degrabă, de o încercare de a măsura lungimea acesteia, care a stat la baza articolului științific al lui Mandelbrot și este descrisă și în cartea sa „Geometria fractală a naturii”.

Acesta este un experiment care a fost pus în scenă de Lewis Richardson, un matematician, fizician și meteorolog foarte talentat și excentric. Una dintre direcțiile cercetării sale a fost încercarea de a găsi o descriere matematică a cauzelor și probabilității unui conflict armat între cele două țări. Printre parametrii pe care i-a luat în calcul a fost și lungimea graniței comune a celor două țări în război. Când a strâns date pentru experimente numerice, a descoperit că în diferite surse datele privind granița comună dintre Spania și Portugalia sunt foarte diferite.

Acest lucru l-a determinat să descopere următoarele: lungimea granițelor unei țări depinde de rigla cu care le măsurăm. Cu cât scara este mai mică, cu atât chenarul este mai lung. Acest lucru se datorează faptului că, cu o mărire mai mare, devine posibil să se țină cont din ce în ce mai multe coturi de coastă, care anterior au fost ignorate din cauza rugozității măsurătorilor. Și dacă, cu fiecare creștere a scării, curburile liniilor necontabile anterior se vor deschide, atunci se dovedește că lungimea limitelor este infinită! Adevărat, în realitate acest lucru nu se întâmplă - acuratețea măsurătorilor noastre are o limită finită. Acest paradox se numește efectul Richardson.

Fractali constructivi (geometrici)

Algoritmul pentru construirea unui fractal constructiv în cazul general este următorul. În primul rând, avem nevoie de două forme geometrice potrivite, să le numim bază și fragment. În prima etapă, este descrisă baza viitorului fractal. Apoi unele dintre părțile sale sunt înlocuite cu un fragment luat la o scară adecvată - aceasta este prima iterație a construcției. Apoi, figura rezultată schimbă din nou unele părți în figuri similare cu un fragment și așa mai departe Dacă continuăm acest proces la nesfârșit, atunci în limită obținem un fractal.

Să luăm în considerare acest proces folosind curba Koch ca exemplu. Ca bază pentru curba Koch, puteți lua orice curbă (pentru „fulgul de zăpadă Koch” este un triunghi). Dar ne vom limita la cel mai simplu caz - un segment. Un fragment este o linie întreruptă prezentată în partea de sus în figură. După prima iterație a algoritmului, în acest caz, segmentul inițial va coincide cu fragmentul, apoi fiecare dintre segmentele sale constitutive va fi înlocuit cu o linie întreruptă, similară cu un fragment, etc. Figura prezintă primii patru pași ai acest proces.

În limbajul matematicii: fractali dinamici (algebrici)

Fractalii de acest tip apar în studiul sistemelor dinamice neliniare (de unde și numele). Comportamentul unui astfel de sistem poate fi descris printr-o funcție complexă neliniară (polinom) f (z). Luați un punct de pornire z0 pe planul complex (vezi bara laterală). Acum luați în considerare o astfel de succesiune infinită de numere pe planul complex, fiecare dintre următoarele fiind obținută din cea precedentă: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).).

În funcție de punctul inițial z0, o astfel de succesiune se poate comporta diferit: tind spre infinit ca n -> ∞; converge către un punct final; ia ciclic un număr de valori fixe; sunt posibile și opțiuni mai complexe.

Numere complexe

Un număr complex este un număr format din două părți - reală și imaginară, adică suma formală x + iy (aici x și y sunt numere reale). eu sunt așa-numitul. unitate imaginară, adică un număr care satisface ecuația i ^ 2 = -1. Operațiile matematice de bază sunt definite peste numere complexe - adunarea, înmulțirea, împărțirea, scăderea (nu este definită doar operația de comparare). Pentru a afișa numere complexe, se folosește adesea o reprezentare geometrică - în plan (se numește complex), partea reală este așezată pe abscisă, iar partea imaginară pe ordonată, în timp ce numărul complex va corespunde unui punct cu carteziană. coordonatele x și y.

Astfel, orice punct z al planului complex are propriul său caracter de comportament în timpul iterațiilor funcției f (z), iar întregul plan este împărțit în părți. În acest caz, punctele care se află la limitele acestor părți au următoarea proprietate: pentru o deplasare arbitrar mică, natura comportamentului lor se schimbă brusc (astfel de puncte sunt numite puncte de bifurcație). Deci, se dovedește că seturile de puncte cu un anumit tip de comportament, precum și seturile de puncte de bifurcație, au adesea proprietăți fractale. Acestea sunt mulțimile Julia pentru funcția f (z).

Familie de dragoni

Variind baza și fragmentul, puteți obține o varietate uimitoare de fractali constructivi.

Mai mult, operațiuni similare pot fi efectuate în spațiul tridimensional. Exemple de fractali volumetrici sunt buretele lui Menger, piramida Sierpinski și altele.

Familia dragonului este denumită și fractali constructivi. Uneori sunt numiți cu numele descoperitorilor „dragoni ai Autostrăzii-Harter” (în forma lor seamănă cu dragonii chinezi). Există mai multe moduri de a trasa această curbă. Cel mai simplu și mai intuitiv dintre ele este acesta: trebuie să luați o fâșie de hârtie suficient de lungă (cu cât hârtia este mai subțire, cu atât mai bine) și să o îndoiți în jumătate. Apoi îndoiți-l din nou de două ori în aceeași direcție ca prima dată.

După mai multe repetări (de obicei, după cinci sau șase pliuri, banda devine prea groasă pentru a fi îndoită mai bine), trebuie să desfaceți banda înapoi și să încercați să formați unghiuri de 90˚ la pliuri. Apoi curba dragonului se va arăta în profil. Desigur, aceasta va fi doar o aproximare, ca toate încercările noastre de a descrie obiecte fractale. Computerul vă permite să descrieți mai mulți pași în acest proces, iar rezultatul este o figură foarte frumoasă.

Setul Mandelbrot este construit într-un mod ușor diferit. Se consideră funcția fc (z) = z ^ 2 + c, unde c este un număr complex. Să construim o succesiune a acestei funcții cu z0 = 0, în funcție de parametrul c, poate diverge la infinit sau rămâne mărginită. Mai mult, toate valorile lui c pentru care această secvență este mărginită formează mulțimea Mandelbrot. A fost studiat în detaliu de Mandelbrot însuși și de alți matematicieni, care au descoperit multe proprietăți interesante ale acestui set.

Se vede că definițiile seturilor Julia și Mandelbrot sunt similare între ele. De fapt, aceste două seturi sunt strâns legate. Și anume, mulțimea Mandelbrot reprezintă toate valorile parametrului complex c pentru care se conectează mulțimea Julia fc (z) (o mulțime se numește conectată dacă nu poate fi împărțită în două părți disjunctive, cu unele condiții suplimentare).

Fractali și viață

Astăzi, teoria fractalilor este utilizată pe scară largă în diverse domenii ale activității umane. Pe lângă un obiect pur științific pentru cercetare și pictura fractală deja menționată, fractalii sunt folosiți în teoria informației pentru a comprima datele grafice (aici proprietatea de auto-similaritate a fractalilor este folosită în principal - la urma urmei, pentru a aminti un mic fragment de un desen și transformări cu care poți obține restul pieselor, este nevoie de mult mai puțină memorie decât pentru stocarea întregului fișier).

Adăugând perturbări aleatorii la formulele care definesc fractalul, se pot obține fractali stocastici care transmit foarte plauzibil unele obiecte reale - elemente de relief, suprafața corpurilor de apă, unele plante, care este folosit cu succes în fizică, geografie și grafică pe computer pentru a obține o mai mare măsură. asemănarea obiectelor simulate cu cele reale. În electronică, se produc antene care au formă fractală. Ocupând puțin spațiu, oferă o recepție a semnalului de înaltă calitate.

Economiștii folosesc fractali pentru a descrie curbele cursului valutar (o proprietate descoperită de Mandelbrot). Aceasta încheie această mică excursie în lumea uimitor de frumoasă și diversă a fractalilor.