Forma plată, sferică sau hiperbolică a Universului nostru?

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Modificat ultima dată: 2023-12-16 16:15

În opinia noastră, universul este infinit. Astăzi știm că Pământul are forma unei sfere, dar rareori ne gândim la forma Universului. În geometrie, există multe forme tridimensionale ca alternativă la spațiul infinit „familiar”. Autorii explică diferența în cea mai accesibilă formă.

Privind cerul nopții, se pare că spațiul continuă pentru totdeauna în toate direcțiile. Așa ne imaginăm Universul - dar nu și faptul că este adevărat. Până la urmă, a existat o perioadă în care toată lumea credea că Pământul este plat: curbura suprafeței pământului este imperceptibilă, iar ideea că Pământul este rotund părea de neînțeles.

Astăzi știm că Pământul are forma unei sfere. Dar rareori ne gândim la forma universului. Pe măsură ce sfera a înlocuit pământul plat, alte forme tridimensionale oferă alternative la spațiul infinit „familiar”.

Se pot pune două întrebări despre forma universului - altele separate, dar interdependente. Unul este despre geometrie - calcule meticuloase ale unghiurilor și ariilor. Un altul este despre topologie: cum părțile separate se îmbină într-o singură formă.

Datele cosmologice sugerează că partea vizibilă a Universului este netedă și omogenă. Structura locală a spațiului arată aproape aceeași în fiecare punct și în fiecare direcție. Doar trei forme geometrice corespund acestor caracteristici - plate, sferice și hiperbolice. Să aruncăm o privire la aceste forme pe rând, câteva considerații topologice și concluzii bazate pe date cosmologice.

Univers plat

De fapt, aceasta este geometria școlii. Unghiurile unui triunghi se adună până la 180 de grade, iar aria unui cerc este πr2. Cel mai simplu exemplu de formă tridimensională plată este un spațiu infinit obișnuit, matematicienii îl numesc euclidian, dar există și alte opțiuni plate.

Nu este ușor să ne imaginăm aceste forme, dar ne putem conecta intuiția gândind în două dimensiuni în loc de trei. Pe lângă planul euclidian obișnuit, putem crea și alte forme plate prin tăierea unei bucăți din plan și lipirea marginilor acesteia. Să presupunem că tăiem o bucată dreptunghiulară de hârtie și lipim marginile opuse cu bandă adezivă. Dacă lipiți marginea de sus de marginea de jos, obțineți un cilindru.

De asemenea, puteți lipi marginea dreaptă la stânga - apoi obținem o gogoașă (matematicienii numesc această formă torus).

Probabil vei obiecta: „Ceva nu este foarte plat”. Și vei avea dreptate. Înșelam puțin în legătură cu torul plat. Dacă încerci cu adevărat să faci un tor dintr-o bucată de hârtie în acest fel, vei întâmpina unele dificultăți. Este ușor să faceți un cilindru, dar nu va funcționa să-i lipiți capetele: hârtia se va mototoli de-a lungul cercului interior al torusului, dar nu va fi suficient pentru cercul exterior. Deci trebuie să luați un fel de material elastic. Dar întinderea modifică lungimea și unghiurile și, prin urmare, întreaga geometrie.

Este imposibil să construiești un tor fizic neted dintr-un material plat în interiorul unui spațiu tridimensional obișnuit fără a distorsiona geometria. Rămâne să speculăm abstract despre cum este să trăiești într-un tor plat.

Imaginează-ți că ești o ființă bidimensională al cărei univers este un tor plat. Deoarece forma acestui univers se bazează pe o coală plată de hârtie, toate faptele geometrice cu care suntem obișnuiți să rămână aceleași - cel puțin la o scară limitată: unghiurile unui triunghi se adună până la 180 de grade și așa mai departe. Dar odată cu schimbarea topologiei globale prin tăiere și lipire, viața se va schimba dramatic.

Pentru început, torul are linii drepte care se întorc și revin la punctul de plecare.

Pe un tor distorsionat, par curbate, dar pentru locuitorii unui tor plat, par drepte. Și din moment ce lumina călătorește în linie dreaptă, atunci dacă te uiți direct în orice direcție, te vei vedea din spate.

Parcă, pe foaia de hârtie inițială, lumina trecea prin tine, mergea spre marginea din stânga, iar apoi reapărea în dreapta, ca într-un joc video.

Iată un alt mod de a te gândi la asta: tu (sau o rază de lumină) traversezi una dintre cele patru margini și te regăsești într-o cameră nouă, dar de fapt este aceeași cameră, doar dintr-un punct de vedere diferit. Rătăcind printr-un astfel de univers, vei întâlni un număr nesfârșit de copii ale camerei originale.

Aceasta înseamnă că vei lua un număr infinit de copii ale ta oriunde te uiți. Acesta este un fel de efect de oglindă, doar că aceste copii nu sunt tocmai reflexii.

Pe tor, fiecare dintre ele corespunde uneia sau alteia bucle, de-a lungul căreia lumina se întoarce înapoi la tine.

În același mod, obținem un tor plat tridimensional prin lipirea fețelor opuse ale unui cub sau altei cutii. Nu vom putea descrie acest spațiu în interiorul unui spațiu infinit obișnuit - pur și simplu nu se va potrivi - dar vom putea specula în mod abstract despre viața din interiorul acestuia.

Dacă viața într-un tor bidimensional este ca o matrice nesfârșită bidimensională de camere dreptunghiulare identice, atunci viața într-un tor tridimensional este ca o matrice nesfârșită tridimensională de camere cubice identice. Și tu vei vedea un număr infinit de copii ale tale.

Torul tridimensional este doar una dintre cele zece variante ale lumii plate finite. Există, de asemenea, lumi plate infinite - de exemplu, un analog tridimensional al unui cilindru infinit. Fiecare dintre aceste lumi va avea propria „camera de râs” cu „reflecții”.

Ar putea universul nostru să fie una dintre formele plate?

Când privim în spațiu, nu vedem un număr infinit de propriile noastre copii. Oricum, eliminarea formelor plate nu este ușoară. În primul rând, toate au aceeași geometrie locală ca și spațiul euclidian, așa că nu va fi posibil să le distingem cu măsurători locale.

Să presupunem că ți-ai văzut chiar și propria copie, această imagine îndepărtată arată doar cum arătai tu (sau galaxia ta ca întreg) în trecutul îndepărtat, deoarece lumina a parcurs un drum lung până a ajuns la tine. Poate chiar ne vedem propriile copii - dar schimbate dincolo de recunoaștere. Mai mult, copii diferite se află la distanțe diferite de tine, așa că nu sunt la fel. Și în plus, atât de departe încât încă nu vom vedea nimic.

Pentru a ocoli aceste dificultăți, astronomii caută de obicei nu copii ale lor, ci caracteristici repetate în cel mai îndepărtat fenomen vizibil - radiația cosmică de fundal cu microunde, aceasta este o relicvă a Big Bang-ului. În practică, aceasta înseamnă să căutați perechi de cercuri cu modele potrivite de puncte calde și reci - se presupune că sunt aceleași, doar din părți diferite.

Astronomii au efectuat tocmai o astfel de căutare în 2015 datorită telescopului spațial Planck. Ei au reunit date despre tipurile de cercuri coincidente pe care ne așteptăm să le vedem în interiorul unui tor plat 3D sau a unei alte forme 3D plat - o așa-numită placă - dar nu au găsit nimic. Aceasta înseamnă că, dacă trăim într-un tor, atunci acesta pare a fi atât de mare încât orice fragmente care se repetă se află în afara universului observabil.

Forma sferică

Suntem foarte familiarizați cu sferele bidimensionale - aceasta este suprafața unei mingi, a unei portocalii sau a Pământului. Dar dacă universul nostru este o sferă tridimensională?

Desenarea unei sfere tridimensionale este dificilă, dar este ușor să o descrii cu o simplă analogie. Dacă o sferă bidimensională este o colecție de toate punctele aflate la o distanță fixă de un punct central din spațiul tridimensional obișnuit, o sferă tridimensională (sau „trisferă”) este o colecție de toate punctele aflate la o distanță fixă de unele punct central în spațiul cu patru dimensiuni.

Viața în interiorul unei trisfere este foarte diferită de viața în spațiu plat. Pentru a-l vizualiza, imaginați-vă că sunteți o ființă bidimensională într-o sferă bidimensională. Sfera bidimensională este întregul Univers, prin urmare nu poți vedea spațiul tridimensional din jurul tău și nu poți intra în el. În acest univers sferic, lumina călătorește pe calea cea mai scurtă: în cercuri mari. Dar aceste cercuri ți se par drepte.

Acum imaginați-vă că tu și prietenul tău 2D stai la Polul Nord și a ieșit la plimbare. Îndepărtându-se, la început va scădea treptat în cercul tău vizual - ca în lumea obișnuită, deși nu atât de repede cum suntem obișnuiți. Acest lucru se datorează faptului că, pe măsură ce cercul tău vizual crește, prietenul tău ocupă din ce în ce mai puțin din el.

Dar de îndată ce prietenul tău traversează ecuatorul, se întâmplă ceva ciudat: începe să crească în dimensiuni, deși de fapt continuă să se îndepărteze. Acest lucru se datorează faptului că procentul pe care îl ocupă în cercul tău vizual este în creștere.

La trei metri de Polul Sud, prietenul tău va arăta de parcă stă la trei metri de tine.

După ce a ajuns la Polul Sud, vă va umple complet întregul orizont vizibil.

Și când nu este nimeni la Polul Sud, orizontul tău vizual va fi și mai ciudat - ești tu. Acest lucru se datorează faptului că lumina pe care o emiti se va răspândi în întreaga sferă până când revine.

Acest lucru afectează direct viața în domeniul 3D. Fiecare punct al trisferei are un opus, iar dacă există un obiect acolo, îl vom vedea pe tot cerul. Dacă nu există nimic acolo, ne vom vedea pe fundal - ca și cum aspectul nostru ar fi suprapus pe un balon, apoi întors pe dos și umflat până la întregul orizont.

Dar chiar dacă trisfera este modelul de bază pentru geometria sferică, este departe de singurul spațiu posibil. Deoarece am construit diferite modele plate prin tăierea și lipirea bucăților de spațiu euclidian, astfel putem construi modele sferice prin lipirea unor bucăți adecvate de trisferă. Fiecare dintre aceste forme lipite va avea, la fel ca torul, efectul unei „camere a râsului”, doar numărul camerelor în forme sferice va fi finit.

Ce se întâmplă dacă universul nostru este sferic?

Chiar și cei mai narcisiști dintre noi nu se văd pe noi înșine ca fundal în loc de cerul nopții. Dar, ca și în cazul unui tor plat, faptul că nu vedem ceva nu înseamnă deloc că nu există. Granițele unui univers sferic pot fi mai mari decât limitele lumii vizibile, iar fundalul pur și simplu nu este vizibil.

Dar, spre deosebire de un tor, un univers sferic poate fi detectat folosind măsurători locale. Formele sferice diferă de spațiul euclidian infinit nu numai în topologia globală, ci și în geometria mică. De exemplu, din moment ce liniile drepte din geometria sferică sunt cercuri mari, triunghiurile de acolo sunt „plump” decât cele euclidiene, iar suma unghiurilor lor depășește 180 de grade.

Practic, măsurarea triunghiurilor cosmice este principala modalitate de a verifica cât de curbat este universul. Pentru fiecare punct fierbinte sau rece de pe fundalul cosmic cu microunde, se cunosc diametrul și distanța față de Pământ, formând cele trei laturi ale triunghiului. Putem măsura unghiul format de pata de pe cerul nopții - iar acesta va fi unul dintre colțurile triunghiului. Apoi putem verifica dacă combinația lungimilor laturilor și suma unghiurilor corespunde geometriei plane, sferice sau hiperbolice (unde suma unghiurilor triunghiului este mai mică de 180 de grade).

Majoritatea acestor calcule, împreună cu alte măsurători de curbură, presupun că universul este fie complet plat, fie foarte aproape de el. O echipă de cercetare a sugerat recent că unele dintre datele din 2018 de la Telescopul Spațial Planck vorbesc mai mult în favoarea unui univers sferic, deși alți cercetători au susținut că dovezile prezentate ar putea fi atribuite unei erori statistice.

Geometrie hiperbolica

Spre deosebire de o sferă, care se închide pe ea însăși, geometria hiperbolică sau spațiul cu curbură negativă se deschide spre exterior. Aceasta este geometria pălăriei cu boruri largi, a recifului de corali și a șeii. Modelul de bază al geometriei hiperbolice este spațiul infinit, la fel ca euclidianul plat. Dar, deoarece o formă hiperbolică se extinde în exterior mult mai repede decât una plată, nu există nicio modalitate de a se potrivi chiar și un plan hiperbolic bidimensional în spațiul euclidian obișnuit, dacă nu dorim să-i distorsionăm geometria. Dar există o imagine distorsionată a planului hiperbolic cunoscut sub numele de disc Poincaré.

Din punctul nostru de vedere, triunghiurile din apropierea cercului limită par a fi mult mai mici decât cele din apropierea centrului, dar din punctul de vedere al geometriei hiperbolice, toate triunghiurile sunt la fel. Dacă am încerca să înfățișăm aceste triunghiuri într-adevăr de aceeași dimensiune - poate folosind material elastic și umflând fiecare triunghi pe rând, mișcându-se din centru spre exterior - discul nostru ar semăna cu o pălărie cu boruri largi și s-ar îndoi din ce în ce mai mult. Și pe măsură ce te apropii de graniță, această curbură ar scăpa de sub control.

În geometria euclidiană obișnuită, circumferința unui cerc este direct proporțională cu raza acestuia, dar în geometria hiperbolică, cercul crește exponențial în raport cu raza. Un morman de triunghiuri se formează lângă limita discului hiperbolic

Din cauza acestei caracteristici, matematicienilor le place să spună că este ușor să te pierzi în spațiul hiperbolic. Dacă prietenul tău se îndepărtează de tine în spațiul euclidian normal, el va începe să se îndepărteze, dar mai degrabă încet, pentru că cercul tău vizual nu crește atât de repede. În spațiul hiperbolic, cercul tău vizual se extinde exponențial, astfel încât prietenul tău se va micșora în curând la o pată infinit de mică. Deci, dacă nu i-ați urmat traseul, este puțin probabil să-l găsiți mai târziu.

Chiar și în geometria hiperbolică, suma unghiurilor unui triunghi este mai mică de 180 de grade - de exemplu, suma unghiurilor unor triunghiuri din mozaicul discului Poincaré este de numai 165 de grade.

Laturile lor par a fi indirecte, dar asta pentru că privim geometria hiperbolică printr-o lentilă distorsionată. Pentru un locuitor al discului Poincaré, aceste curbe sunt de fapt linii drepte, așa că cel mai rapid mod de a ajunge din punctul A în punctul B (ambele la margine) este printr-o tăietură către centru.

Există o modalitate naturală de a face un analog tridimensional al discului Poincaré - luați o minge tridimensională și umpleți-o cu forme tridimensionale, care scad treptat pe măsură ce se apropie de sfera limită, ca triunghiurile de pe un disc Poincaré. Și, ca și în cazul planurilor și sferelor, putem crea o mulțime de alte spații hiperbolice tridimensionale prin decuparea unor bucăți adecvate dintr-o minge hiperbolice tridimensională și lipirea fețelor acesteia.

Ei bine, este Universul nostru hiperbolic?

Geometria hiperbolică, cu triunghiurile sale înguste și cercurile în creștere exponențială, nu seamănă deloc cu spațiul din jurul nostru. Într-adevăr, așa cum am observat deja, majoritatea măsurătorilor cosmologice înclină spre un univers plat.

Dar nu putem exclude că trăim într-o lume sferică sau hiperbolică, deoarece mici fragmente din ambele lumi par aproape plate. De exemplu, suma unghiurilor triunghiurilor mici în geometria sferică este doar puțin mai mare de 180 de grade, iar în geometria hiperbolică este doar puțin mai mică.

De aceea, anticii credeau că Pământul este plat - curbura Pământului nu este vizibilă cu ochiul liber. Cu cât forma sferică sau hiperbolică este mai mare, cu atât este mai plată fiecare dintre părțile sale, prin urmare, dacă Universul nostru are o formă sferică sau hiperbolică extrem de mare, partea sa vizibilă este atât de aproape de plată încât curbura sa poate fi detectată doar cu instrumente ultra-precise, si inca nu le-am inventat…